A^m=A,证明A与对角矩阵相似

A为复数域上的矩阵，A^m=A,m大于1,求证A与对角矩阵相似

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注意到 f (λ) = λ^m - λ = λΠ_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 是 A 的 0 化多项型轿式，其中 ζ_{m-1} = exp{2πi/(m-1)}.

而 λ, λ-ζ_{m-1}^k (k=0,1,...,m-2) 两两互素，故 A 对应的变换空间 V 有直和分解

V = Ker A + Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + ... + Ker (A-ζ_{m-1}^{m-2} id_V)

这样就证明了 A 可对角化.

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我带租带们蠢芦证明了

如果一个有限阶矩阵存在无重根的 0 化多项式，那么这个矩阵可对角化。

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用到的两个事实很简单，

事实 1. 如果 (f,k)=(f,h)=1, 则 (f,kh) = 1

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事实 2.

如果 fg 是 A 的 0 化多项式，并且 (f,g) = 1 (即互素)，那么

V = Ker f(A) + Ker g(A) (直和分解)

并且 Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变子空间

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事实 2 的证明

Step 1. Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0

假设 v∈Ker f(A) ∩ Ker g(A)

那么 f(A)v = g(A)v = 0 ............................................................ (1)

而 (f,g) = 1, 故存在多项式 p, q 使得 pf + qg = 1

这样 id_V = p(A)f(A) + q(A)g(A)

两边作用到 v 上再注意到上面的 (1) 式，就有 v = 0，于是 Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0

Step 2. V 可以由 Ker f(A), Ker g(A) 线性张成

同样利用 p, q 的存在性（以及多项式乘法的交换性）

id_V = f(A)p(A) + g(A)q(A)

于是 V = im (id_V) = im (f(A)p(A) + g(A)q(A)) ⊆ Ker f(A) + Ker g(A)

Step 3. Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变的

设 v∈Ker f(A), 则 f(A)v = 0

于是 f(A)(Av) = Af(A)v = A0 = 0

故 Av∈Ker f(A)

对 Ker g(A) 证明类似，主要是用了多项式算子复合可以交换顺序 --- Af(A) = f(A)A

QED

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这样你就可以先令 f = λ, g=Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k). 注意到 f 和 g 的每个因子互素, 利用事实1, 就有 (f,g) = 1

那么这一对 f,g 就可以带入事实 2, 对 V 进行第一次直和分解

V = Ker A + Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)

然后注意到 Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) 是 A 不变的，故 A 限制上去又是一个线性变换，对这个新的线性变换 A_1,

Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 就是它的 0 化多项式

故同样的手续对 f_1 = λ-ζ_{m-1}, g_1=Π_{k=1}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 进行，就有

Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) = Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + Ker Π_{k=1}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)

这样依次下去，就把 V 拆成了特征子空间的直和，从而得到 A 可对角化.

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