在数列an中， a1=1/2 an+1=3an/an+3 求a2 a3 a4 a5？ 猜想an的表达式，并用
数学归纳法证明
a(n+1)=3an/(an+3)
a2=(3*1/2)/(1/2+3)=(3/2)/(7/2)=3/7
a3=(3*3/7)/(3/7+3)=(9/7)/好卖(24/7)=9/24=3/8
a4=(3*3/8)/(3/8+3)=(9/8)/(27/8)=9/27=3/9
...................
an=3/(n+5)
证明：（1）当n=1时，a1=3/6=1/2, 命题成立
（2）设n=k时友历逗，ak=3/(k+5)成立。
则n=k+1时有
a(k+1)=3ak/(ak+3)={9/[k+5]}/3[1/(k+5)+1]=[3/(k+5)]/[(k+6)/(k+5)]=3/(k+6)=3/[(k+1)+5]
所以a(k+1)=3/[(k+1)+5]
对于烂吵n∈N+都成立。
a2=3/7
a3=3/8
a4=3/9=1/3
a5=3/10
an=3/(n+5)
证明
n=1时，a1=3/6=1/2,成立
假设n=k时，ak=3/(k+5)
那么n=k+1时
a(k+1)=3ak/(ak+3)=[3*3/(k+5)]/[3/(k+5)+3]=9/(3k+18)=3/[(k+1)+1]
即n=k+1时公式也成立。
∴对任意正整数n,公式神吵液都成立。
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a1=1/2，a2=3/7，a3=3/8，a4=3/9，a5=3/10.
an=3/(n+5)
简证如陵敏帆下：假设n=k时，ak=3/(k+5)
则a(k+1)=3ak/(ak+3)=[9/(k+5)]/[3/(k+5)+3]=3/(k+6)成立.
事实上a(n+1)=3an/(an+3)，取倒数得1/a(n+1)=1/尺雹拿厅an+1/3
{1/an}是公差为3的等差数列，所以1/an=2+(n-1)/3=(n+5)/3，故an=3/(n+5).