椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的上下焦点分别为F1、F2

其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点A是曲线C1与C2在第二象限的交点，且|AF1|=5/3
求椭圆C1的方程
已知点p是椭圆C1上的动点，MN是园（x+b）2+y2=b2的直径，试求向量PM乘向量PN的最大值

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椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 是否应该改成咐数 :y^2/a^2+x^2/b^2=1

(1)F1是抛物线C2：x^2=4y的焦点 ∴F1(0,1)
∵点A是曲线C1与C2在第二象限的交点 设点A（x1,y1） {x1＜0 y1＞0}
根据抛物线的定义：∴|AF1|=y1+p/2=y1+1＝5/3 ∴y1=2/3
∴x1^2=4y1=8/3 则有方程组：
｛ 8/（3b^2）+4/(9a^2)=1 , a^2-b^2=1 }
解得：b^2=3 a^2=4
∴椭圆C1的方程为：y^2/4+x^2/3=1
(2)MN是圆O（x+√3）^2+y^2=3 的直径 圆O的圆心为O（-√3，0）
半径为： r＝√3
设点P（x2,y2） 点M（x3,y3） 点N（x4,y4）
MN所在直线恒过定点O（-√3，0） 当MN所在直线斜率存在时，设斜率为k
则MN所在直线方程为：y=kx+√3k
将乎厅MN所在直线方程为：y=kx+√3k 代人圆O方程（x+√3）^2+y^2=3 消去y得：（k^2+1）x^2+2√3(k^2+1)x+3k^2=0 该方程的两根为x3 , x4
∴由韦达定理知：x3+x4=-2√3 , x3*x4=3k^2/(k^2+1)
则y3*y4=(kx3+√3k)( kx4+√3k)=k^2x3*x4+√3k^2(x3+x4)+3k^2
=-3k^2/(k^2+1)
∴x3*x4+y3*y4=0
当MN所在直线岁简隐斜率不存在时 易知 x3*x4+y3*y4=0成立
∴x3*x4+y3*y4=0恒成立
而 向量PM＝（x3-x2,y3-y2） 向量PN=(x4-x2,y4-y2)
∴向量PM*向量PN=（x3-x2,y3-y2）*(x4-x2,y4-y2)
=x3*x4+y3*y4-x2(x3+x4)-y2(y3+y4)+y2^2+x2^2
又∵MN中点为O（-√3，0） ∴x3+x4=-2√3 , y3+y4=0
而 y2^2/4+x2^2/3=1 ∴y2^2=4-4x2^2/3
∴向量PM*向量PN=x3*x4+y3*y4-x2(x3+x4)-y2(y3+y4)+y2^2+x2^2
=-x2^2/3+2√3x2+4
=-(x2-3√3)^2/3+13
又∵ -√3 ≤x2≤√3
∴当x2＝√3 时 向量PM乘向量PN取最大值
为 （ 向量PM*向量PN）max＝9
若有疏漏之处请谅解！
如有不懂可再问我。

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