椭圆C:a平方分之x平方+b平方分之y平方=1（a＞b＞0）的离心率为2分之根号3，长轴的端点与短

椭圆C:a平方分之x平方+b平方分之y平方=1（a＞b＞0）的离心率为2分之根号3，长轴的端点与短轴的端点间的距离为根号5。 （1）求椭圆C的方程 （2）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E,F。O为坐标原点，若OE垂直OF，求l的斜率。

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(1)c/a=√3/2，
∴a^2=4c^2/3,b^2=c^2/3,
长轴的端点与短轴瞎梁的端点间的距离为√5，
∴a^2+b^2=5c^2/3=5,c^2=3,
∴a^2=4,b^2=1,
∴椭圆C的方程是x^2/4+y^2=1.①
(2)设EF:x=my+4,②
代入磨山运①，m^2y^2+8my+16+4y^2=4,
整理得(m^2+4)y^2+8my+12=0,
△/16=4m^2-3(m^2+4)=m^2-12>0,③
设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1+y2=-8m/(m^2+4),y1y2=12/(m^2+4),
由②，x1x2=(my1+4)(my2+4)=m^2y1y2+4m(y1+y2)+16,
OE⊥OF,
∴唯斗0=x1x2+y1y2=(m^2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16,
∴12(m^2+1)-32m^2+16(m^2+4)=0,
化简得76-4m^2=0,m^2=19,满足③，
∴l的斜率=1/m=土√19/19.

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